多变量线性回归

多变量线性回归的思想与单变量线性回归一致。要想利用数值计算工具方便快速地进行回归分析，则需要各个计算步骤向量化。

变量描述

$x_j^{(i)}$ 第 $i$ 个训练数据中的第 $j$ 个特征
$x^{(i)}$ 输入特征的 $i$ 个训练数据
$m$ 训练数据的数量
$n$ 特征的数量

假设函数向量化

$h_\theta(x) = \begin{bmatrix} \theta_0&\theta_1&\cdots & \theta_n\end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_0 \\ x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix} = \theta^Tx$

备注: $x_0^{(i)} = 1$

多变量的梯度下降

repeat until convergence: $\lbrace$
$\quad \theta_j := \theta_j - \alpha\frac{1}{m}\sum_{i=1}^{m}(h_\theta(x^{(i)})-y^{(i)})x_j^{(i)} \quad for \quad j: = 0…n$
$\rbrace$

特征缩放

当不同参数的尺度范围相差很远时，图像会很扁，需要很多次迭代才能收敛。如果将这些特征的特征都缩放到-1到1之间或者 -0.5到0.5之间，就能较快地迭代

常用方法有特征缩放和均值归一化

$x_i := \frac{(x_i - u_i)}{s_i}$

其中 $u_i$ 是第 $i$ 个特征的平均值， $s_i$ 是标准差或者最大值减最小值

学习率

梯度下降算法的每次迭代受到学习率的影响，如果学习率α过小，则达到收敛所需的迭代次数会非常高；如果学习率α过大，每次迭代可能不会减小代价函数，可能会越过局部最小值导致无法收敛。

正规方程

$\theta = (X^T)^{-1}X^Ty$

比较：梯度下降需要选择学习率 $\alpha$ ，需要多次迭代，当特征数量较多时能较好适用，适用于各种模型。正规方程不需要学习率，一次运算得出，通常n小于10000时还可以接受，只适用于线性模型，不适合逻辑回归等其他模型。

向量化(Vectorization)

$\theta = \theta - \frac{\alpha}{m}X'( X\theta-y)$

Octave教程

数值计算

v = 1:1:6 v被赋值1至6的六个整数
ones(2,3) 生成全1阵
zeros(1,3) 生成全0阵
rand(3,3) 生成随机矩阵（介于0和1之间）
eye(6) 生成单位矩阵
size(A) 返回矩阵大小，1x2矩阵
size(A,1) 矩阵行数
size(A,2) 矩阵列数
length(A) 最大维度
who 工作空间中的变量
clear 删除空间中的变量
save 文件名变量名将变量存为文件
A([1 3],:) 返回第1，3行的所有列
A（:,2） = [10;11;12] 第二列被替换
A = [A,[100;101;102]] 在矩阵右面附加列
A(:) 把所有元素放入单独列向量
C = [A,B] 把两个矩阵直接连在一起
A * C 向量相乘
A .* B 点积
A .^ 2 每个元素平方
1 ./ A 每个元素求倒数
log(A) 求对数
exp(A) 自然数e的幂次运算
A < 3 返回小于3的元素位置，值为1
magics(n) n阶幻方
[r,c] = find(A >=7 )
sum(a) 累加
prod(a) 累乘
floor(a) 向下四舍五入
ceil(a) 向上四舍五入
type(3) 3x3矩阵
max(A,[],1) 得到每一列最大值
max(A,[],2) 得到每一行最大值
sum(A,1) 每一列的总和
sum(A,2) 每一行的总和
flipup/flipud 向上/下翻转
pinv(A) 求伪逆矩阵
绘图
plot(x,y)
xlablel(‘’) 横轴名称
ylable(‘’) 纵轴名称
subplot(1,2,1) 将图像分为1*2格子，使用第一个格子
axis([0.5 1 -1 1]) 设置横轴和纵轴的范围

for,while,if语句

都需要end
与C语言类似
function [返回变量] = functionName(参数)